$(\ell^{\infty})^{*} \stackrel{?}{=} \ell^{1}$

Si $x \in \ell^{1}$ , on note $x^{*}$ la forme linéaire continue sur $\ell^{\infty}$ définie par $x^{*}(u) = \sum_{n \geq 0}x(n) u(n)$ .
Montrer qu’il existe des formes linéaires continues sur $\ell^{\infty}$ qui ne sont pas de la forme $x^{*}$ où $x \in \ell^{1}$ .

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Solution by La chouette aveugle

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Soit $(c,\lVert.\rVert_{\infty})$ l’espace des suites réelles convergentes, et $\phi : c \longrightarrow \mathbb{R}$ définie par $x \mapsto \lim_{n \rightarrow \infty} x(n)$ . Il est facile de montrer que $\phi$ est linéaire et continue. Par le théorème de Hahn-Banach, il existe un prolongement $\psi$ de $\phi$ à $\ell^{\infty}$ . Procédons par l’absurde et supposons qu’il existe $x \in \ell^{1}$ tel que $\psi = x^{*}$ . Comme $x$ est $\ell^{1}$ , $x \in c$ et $\phi(x) = 0$ . Ainsi, $\psi(x) = 0 = \sum_{n \geq 0} x(n)^{2}$ , et $x(n) = 0$ pour tout $n$ . Mais cela signifierait que $\psi$ est nulle, ce qui n’est pas le cas puisque $\psi(\mathbf{1}_{\mathbb{N}}) = 1 \neq 0$ .

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