$(\ell^{\infty})^{*} \stackrel{?}{=} \ell^{1}$

Soit $(c,\lVert.\rVert_{\infty})$ l’espace des suites réelles convergentes, et $\phi : c \longrightarrow \mathbb{R}$ définie par $x \mapsto \lim_{n \rightarrow \infty} x(n)$. Il est facile de montrer que $\phi$ est linéaire et continue. Par le théorème de Hahn-Banach, il existe un prolongement $\psi$ de $\phi$ à $\ell^{\infty}$. Procédons par l’absurde et supposons qu’il existe $x \in \ell^{1}$ tel que $\psi = x^{*}$. Comme $x$ est $\ell^{1}$, $x \in c$ et $\phi(x) = 0$. Ainsi, $\psi(x) = 0 = \sum_{n \geq 0} x(n)^{2}$, et $x(n) = 0$ pour tout $n$. Mais cela signifierait que $\psi$ est nulle, ce qui n’est pas le cas puisque $\psi(\mathbf{1}_{\mathbb{N}}) = 1 \neq 0$.