Entiers comme sommes consécutives

En commençant à vérifier avec quelques exemples, on remarque qu’il semble que seules les puissances de 2 ne peuvent pas être exprimées de cette manière.

• Pour le prouver, supposons d’abord que notre entier $a=2^k$ puisse s’écrire comme une somme d’entiers consécutifs :
  $$2^k=n+(n+1)+\ldots+(n+m)=mn + \frac{(m-1)m}{2}$$avec $m\geq 2$. Alors, en multipliant par 2 pour se débarrasser du dénominateur :
  $$2^{k+1}=2mn + (m-1)m$$ce qui montre que $m$ divise $2^{k+1}$, donc $m$ est lui-même une puissance de 2, disons $m=2^r$, avec $r\geq 1$.
  En réinjectant ceci dans l’équation, on obtient :
  $$2^{k+1}=2^{r+1} n+\left(2^r-1\right) 2^r=2^r\left(2 n+2^r-1\right)$$Mais ceci est impossible : le terme $2n+2^r-1$ est impair, donc il ne peut pas être un facteur de $2^{k+1}$.
  Cette contradiction signifie que $2^k$ ne peut jamais s’écrire comme une somme d’entiers consécutifs.

• Supposons maintenant que notre entier $a$ n’est pas une puissance de 2. Cela signifie que $a$ possède un facteur impair, disons $q$, tel que $a=2^k q$ pour un certain $k\geq 0$. Montrons qu’il peut s’écrire comme une somme d’entiers consécutifs. On raisonne à rebours à partir de la réponse : supposons qu’il puisse s’écrire de cette manière, c’est-à-dire qu’il existe un entier positif $n$ et $m\geq 2$ tels que :
  $$a=2^{k}q=n+\ldots+(n+m-1)=mn+\frac{m(m-1)}{2}$$Et de nouveau en multipliant par 2 de chaque côté pour se débarrasser du dénominateur :
  $$2^{k+1} q=m(2 n+m-1)$$$m$ et $2n+m-1$ sont de parités opposées. Or, un choix naturel est de supposer l’une des deux possibilités suivantes :

1. $2^{k+1}=m$ et $2n+m-1=q$. On obtient que $n=\frac{q+1}{2}-2^{k}$. Ceci est positif pour $\frac{q+1}{2}\geq 2^{k}+1$. Si cette condition est vérifiée, vérifions que ce choix de $m$ et $n$ donne la bonne décomposition :
   $$n+\ldots+(n+m-1)=m n+\frac{m(m-1)}{2}=2^{k+1}\left(\frac{q+1}{2}-2^k\right)+\frac{2^{k+1}\left(2^{k+1}-1\right)}{2}=2^k q=a$$
2. Si $2^{k+1}=2n+m-1$ et $q=m$, on obtient que $n=2^{k}-\frac{q-1}{2}$. Ceci est positif pour $\frac{q+1}{2} \leqslant 2^k$. De nouveau, il est immédiat de vérifier que si cette condition est vérifiée, alors ce choix de $n$ et $m$ est correct.

Puisque l’une des deux conditions doit être vraie, la propriété est donc démontrée.