Équations d’une ellipse ? $1$

Cette équation n’admet aucune solution, car $x^{2}+2y^{2}$ est toujours strictement négative. Il ne s’agit donc pas d’une ellipse.

C’est l’équation d’un cercle de rayon $\sqrt{2}$, ce qui est un cas particulier (cf. infra).

C’est l’équation d’une ellipse de centre $(0,0)$ avec $a=3$ et $b=2$.

Cette équation implique $x=0$ et $y=0$ car les carrés sont toujours positifs. L’ensemble qu’elle définie est donc seulement un point et par convention, cela n’est pas habituellement considéré comme une ellipse.

C’est l’équation d’une hyperbole, ce qui n’est pas une ellipse (car non bornée).

En utilisant $x^2+2x=(x+1)^2-1$, on obtient $(x+1)^2+2y^2=2$ ou aussi $\left(\frac{x-(-1)}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{y-0}{1}\right)^2=1$ ce qui est une ellipse.

L’équation d’un cercle est $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ ; ainsi, en divisant par $R^2$, on obtient l’équation cartésienne d’une ellispe avec $a=b$.