Équivalence entre la définition géométrique et la définition algébrique de l’ellipse

Géométrique $\Longrightarrow$ Algébrique:

Quitte à effectuer une translation et une rotation, on peut supposer que le centre de l’ellipse se trouve au point (0,0) et que les coordonnées des deux foyers sont $F_1=(-c,0)$ et $F_2=(c,0)$. Remarquons que cela ne change pas la nature de l’équation obtenue, puisque les distances entre les points sont invariantes par translation et rotation.

Prenons maintenant $M=(x,y)$ un point de l’ellipse. Il vérifie alors l’équation
$$MF_{1}+MF_{2} = 2a,$$ce qui est équivalent à
$$\sqrt{(x-(-c))^2+(y-0)^2}+\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=2a.$$

L’idée est maintenant de l’écrire sous la forme
$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}$$puis de passer cette égalité au carré. Après simplification on obtient
$$cx=a^2-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$$Maintenant il reste à isoler la racine carré pour s’en débarrasser en passant une nouvelle fois au carré, ce qui donne
$$(a^2-cx)^2=a^2\left((x-c)^2+y^2\right),$$qui peut alors être réécrit
$$\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{c^2-a^2}}\right)^2=1$$On définit alors $b:= \sqrt{c^{2}-a^{2}}$ le demi-petit axe.

Finalement, en translatant le centre de l’ellipse on retourne aux corrdonées initiales.

Algébrique $\Longrightarrow$ Géométrique:

Soit $M(x,y)$ vérifiant $\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Montrons alors que $MF_1 + MF_2 = 2a$.

Pour ce faire on isole $y^2$ :
$$y^2 = b^2\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right).$$

On définit $F_1=(-c,0)$ et $F_2=(c,0)$ où $c^2=a^2-b^2$ et $c>0$.

Il est alors possible de donner explicitement $MF_1$ et $MF_2$. Les calculs donnent :
$$MF_1 = a + \frac{c}{a}x, \quad MF_2 = a - \frac{c}{a}x.$$Qui peuvent être additionnées pour obtenir
$$MF_1 + MF_2 = \left(a + \frac{c}{a}x\right) + \left(a - \frac{c}{a}x\right) = 2a.$$Ainsi $M$ satisfait $MF_1 + MF_2 = 2a$.