Équivalent de la série génératrice des poids de Hamming

Autre solution sans intégrale. On suppose qu’on a obtenu $\forall x\in [0;1[=:I, F(x):=(1-x)S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2^n}}{1+x^{2^n}}$
On pose $\forall x\in I, G(x):=\sum_{n=0}^{+\infty} x^{2^{n}}.$

Etape 1. On va établir un équivalent de F en fonction de G.

Comme pour tout $y$ dans $I$, $1/2\le \frac{1}{1+y} \le 1$, on déduit l’encadrement $\forall x\in I, G(x)/2 \le F(x)\le G(x)$.
On va améliorer la majoration. On rappelle que la moyenne géométrique de deux nombres positifs est plus petite que leur moyenne arithmétique d’où en particulier $\forall x\in I, \forall n\in \N^{*},x^{2^{n-1}}\le \frac{1+x^{2^{n}}}{2}$ et
$\sqrt x\le (1+x)/2$ d’où $F(x)\le 1/2 (\sqrt x+\sum_{n=1}^{+\infty} x^{2^{{n-1}}})=1/2(\sqrt x+G(x))$
Ainsi $\forall x\in I, 0\le F(x)-G(x)/2 \le 1/2 \sqrt x \le 1/2$ (1) Comme $G(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vesr 1 par valeurs inférieures (1) assure que $F$ tend également vers l’infini lorsque $x$ tend vers 1 par valeurs inférieures et que $F(x)\sim_{1^{-}} G(x)/2$

:::Etape 2. Équivalent de G en $1^{-}$
$G$ vérifie l’équation fonctionnelle $\forall x\in I, G(x)=x+G(x^{2})$ d’où $\forall n \in \N^{*}, G(x)=\sum_{k=0}^{n-1} x^{2^{k}}+G(x^{2^{n}})$ (2)

Soit $a\in I$ et soit $x>a$. Soit alors $N(x)$ le plus petit entier n tel que $x^{2^{n}}<a$. Comme G est strictement croissante on a $G(x^{2^{n}})<G(a)$. Par ailleurs, on a alors $\forall k<N(x), a<x^{2^{k}}<1$ d’où $N(x)a<\sum_{k=0}^{N(x)}x^{2^k}<N(x)$ (NB cette fonction $N$ dépend du choix de $a$).
D’après (2), on a alors ($G$ est strictement positive sur $]0;1[$) $N(x)a<G(x)<N(x)+G(a)$ (3)
L’encadrement, $\forall x>a,x^{2^{N(x)}}<a<x^{2^{N(x)-1}}$ donne $N(x)\sim_{1^{-}} -\ln(-\ln x)/\ln(2)$ et en particulier $N(x)$ tend vers l’infini lorsque $x$ tend vers $1^{-}$ par valeurs inférieures. On pose $\forall x\in I, R(x):= -\ln (-\ln(x))/\ln(2)$

(3) donne alors $\limsup_{1^{-}} G(x)/R(x)\le 1$ et $\liminf_{1^{-}} G(x)/R(x) \ge a$ et ceci pour tout $a<1$ d’où les limites sup et inf sont égales à $1$ et donc $G(x)\sim_{1^{-}} R(x)$
(si on ne veut pas faire avec des limites inf sup, on pose $\epsilon=1-a$...)
::: Conclusion : $S(x)\sim_{1^{-}} \frac{-\ln(-\ln x)}{2\ln 2(1-x)}$