Estimer l’altitude avec la pression atmosphérique

Un alpiniste part d’un refuge de montagne situé à une altitude de $1800\,\mathrm{m}$. Au refuge, un altimètre barométrique mesure une pression atmosphérique de $820\,\mathrm{hPa}$.
Plus tard au cours de l’ascension, la pression mesurée est descendue à $650\,\mathrm{hPa}$.

La pression atmosphérique à l’altitude $h$ est modélisée par
$$P(h)=P_0e^{-kh},$$où $P_0>0$ et $k>0$ sont des constantes.

1. Soient $h_1$ et $h_2$ deux altitudes. Montrer que
   $$\frac{P(h_2)}{P(h_1)} =e^{-k(h_2-h_1)}.$$

2. En déduire que la différence d’altitude entre les deux points est
   $$h_2-h_1 = \frac{1}{k} \ln\left(\frac{P(h_1)}{P(h_2)}\right).$$

3. On suppose dorénavant que
   $$k=9.81\times10^{-4}\,\mathrm{m}^{-1}.$$Estimer l’altitude atteinte par l’alpiniste lorsque l’altimètre indique $650\,\mathrm{hPa}$.

4. L’alpiniste poursuit son ascension jusqu’à ce que la pression atmosphérique soit égale à la moitié de sa valeur au refuge.

   Montrer que le gain d’altitude correspondant ne dépend pas de $P_0$, puis calculer ce gain.

5. Plus généralement, pour $r\in ]0,1[$, on note $D(r)$ le gain d’altitude nécessaire pour que la pression atmosphérique soit multipliée par $r$.

   Montrer que, pour tous $r,s\in ]0,1[$,
   $$D(rs)=D(r)+D(s).$$

   Identifier la fonction classique à l’origine de cette propriété.