Etude de la convergence simple puis uniforme de la suite$(x^n)_n$

1. Montrons que $(f_n)_n$ converge simplement sur $[0,1]$.
   Soit $x\in[0,1]$.

• Si $x=1$, alors
  $$f_n(1)=1^n=1.$$
• Si $0\le x<1$, alors
  $$f_{n}(x)=x^n \xrightarrow[n\to+\infty]{}0.$$D’où la suite $(f_n)$ converge donc simplement vers la fonction
  $$f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si } x\in[0,1[,\\[0.3em] 1 & \text{si } x=1. \end{array} \right.$$

2. Montrons que $(f_n)$ ne converge pas uniformément vers $f$ sur $[0,1]$.
   Pour tout $n\in\mathbb N$,
   $$\|f_n-f\|_{\infty,[0,1]} = \sup_{x\in[0,1]} |x^n-f(x)|.$$Or, pour $x\in[0,1[$,
   $$|x^n-f(x)|=x^n.$$Comme
   $$\sup_{x\in[0,1[}x^n=1,$$on obtient
   $$\|f_n-f\|_{\infty,[0,1]}=1.$$Ainsi,
   $$\lim_{n\to+\infty}\|f_n-f\|_{\infty,[0,1]} \neq 0.$$La convergence de $(f_n)_n$ n’est donc pas uniforme sur $[0,1]$.

3. On sait déjà, d’après la question 1, que $(f_{n})_{n}$ converge simplement vers $f$ sur $[0,1]$.
   Or $f = 0$ sur $[0,\alpha]$ puisque $\alpha<1$. Ainsi, $(f_n)_n$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,\alpha]$.

Montrons que la convergence vers $0$ est uniforme sur $[0,\alpha]$.
Pour tout $x\in[0,\alpha]$, on a
$$0\le x^n\le \alpha^n.$$Comme $f(x)=0$ sur $[0,\alpha]$, il vient
$$|f_n(x)-f(x)|=x^n\le \alpha^n.$$Par conséquent
$$\|f_n-f\|_{\infty,[0,\alpha]} = \sup_{x\in[0,\alpha]}x^n = \alpha^n.$$Or
$$0<\alpha<1,$$donc
$$\alpha^n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.$$Ainsi,
$$\lim_{n\to+\infty} \|f_n-f\|_{\infty,[0,\alpha]} =0.$$La suite $(f_n)$ converge donc uniformément vers $f$ sur $[0,\alpha]$.