Étude de l’injectivité d’applications à paramètres

L’application $f$ est injective. En effet, soient $x_{1}$ et $x_{2}$ deux réels tels que $f(x_{1}) = f(x_{2})$. On a $ax_{1}+ b= ax_{2 }+ b$ , en simplifiant par $b$ puis par $a$ qui est non-nul, on a $x_{1} = x_{2}$, ce qui montre que $f$ est injective.

$g$ est injective pour $I = ]-\infty , a[$ et $I = ]a , +\infty[$. Sur chacun de ces deux intervalles $x \mapsto (x - a)^{2}$ est injective car strictement monotone. Ensuite en composant par la fonction inverse $x \mapsto \frac 1 x$, on montre que $g$ est injective.

Analyse : Soit $(a,b,c) \in \R^{3}$ tel que $h$ est injective. $a$ doit être nul car sinon $h$ serait une fonction polynomiale du second degré et on sait que les fonctions polynomiales réelles du second degré ne sont pas injective car leur graphe possède un axe de symétrie en $-\frac b a$ . Ensuite, $b$ doit être non-nul car sinon $h$ serait une fonction constante de valeur $c$, $c$ aurait une infinité d’antécédent ($\R$ tout entier). Synthèse : $f$ est injective pour les couples $(a,b,c) \in \R^{3}$ tels que $a=0$ et $b\ne 0$ comme montré à la question $\textbf{1)}$.