Extension de $\R$ de degré impair

Soit $x \in E$ ; montrons que $x\in \R$. On considère le corps $\R(x)$. On dispose d’une tour d’extensions:
$$\R \subseteq \R (x) \subseteq E.$$D’après le théorème de la base télescopique^EN, on a :
$$[E:\R]=[\R(x):\R][E:\R(x)]$$Puisque l’extension $\R \subseteq E$ est supposée être de degré impair, $[E:\R]$ est un entier impair, donc les degrés $[\R(x):\R]$ et $[E:\R(x)]$ sont impairs.
Soit désormais $P$ le polynôme minimal de $x$ sur $\R$. Son degré coïncide avec $[\R(x):\R]$, et est donc impair. Une application du théorème des valeurs intermédiaires justifie l’existence d’une racine réelle $\alpha$ de $P$, et $X-\alpha$ divise $P$ dans $\R[X]$. L’irréductibilité de $P$ permet d’en déduire que $P(X)=X-\alpha$, donc que $x=\alpha$, et $x$ est réel.