Familles de matrices inversibles dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$

Considérons le polynôme en $k$: $P(k):=\det(A+kB)$
On peut montrer que si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$, on a l’équivalence (voir problèmes liés):
$$A \text{ inversible dans } \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) \Longleftrightarrow \det(A) \in \{-1,1\}$$Ainsi, on sait que $\forall j \in \{k \in \mathbb{Z}, A+kB \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}) \}=E, P(j) \in \{-1,1\}$.

Montrons que $P$ est un polynôme constant.

Pour cela, montrons qu’un polynome de degré $n$ est entièrement déterminé par la donnée de $n+1$ de ses points.
Autrement dit, si deux polynômes de degré $n$ coincident en $n+1$ points distincts, alors il sont égaux.
Soient $P,Q \in \mathbb{K_{n}}[X]$ tels que pour $(a_{0},...,a_{n}) \in \mathbb{K^{n}} \text{ distincts deux à deux }, \forall i=0,...,n, P(a_{i})=Q(a_{i})$.
Donc $\forall i=0,...,n, (P-Q)(a_{i})=0$, et $\deg(P-Q) \leq n$
On a exposé $n+1$ racines de $P-Q$, de degré au plus $n$, donc $P-Q=0$
On a bien prouvé que P=Q

(à noter que l’on pourrait utiliser directement les polynômes inyerpolateurs de Lagrange, ici la démonstration est faite sans connaitre l’existence de ceux-ci)
De plus, on note $C=\{j \in E, P(j)=1\}$ et $D=\{j \in E, P(j)=-1\}$.
Ainsi $E=C \cup D$, où l’union est disjointe.
Donc $\operatorname{card}(E)=\operatorname{card}(C)+\operatorname{card}(D) \geq 2n+1$.
Si $\operatorname{card}(C) \leq n \text{ et } \operatorname{card}(D) \leq n$, alors $2n+1\leq\operatorname{card}(E)=\operatorname{card}(C)+\operatorname{card}(D) \leq 2n$, ce qui est contradictoire, donc $\operatorname{card}(C) \geq n+1 \text{ ou } \operatorname{card}(D) \geq n+1$ (ce ou est d’ailleurs exclusif)
Il vient donc 2 cas:

1. si $\operatorname{card}(C) \geq n+1$, on connait $n+1$ points notés $a_{0},...,a_{n}$ tels que $P(a_{i})=1$, et $P$ est de degré au plus n. Ainsi, comme montré précedemment, $P=1$.
2. Si $\operatorname{card}(D) \geq n+1$, on connait $n+1$ points notés $a_{0},...,a_{n}$ tels que $P(a_{i})=-1$, et $P$ est de degré au plus n. Ainsi, comme montré précedemment, $P=-1$.

Donc $P \in \{-1,1\}$
Donc $\forall k \in \mathbb{Z}, \det(A+kB)=P(k) \in \{-1,1\}$
Donc $\forall k \in \mathbb{Z}, A+kB \text{ inversible dans } \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$.