Fermés emboités dans un compact

$A$ est un fermé comme intersection de fermés.
Ainsi, $A$ est un fermé dans un compact, donc un compact.

On se donne pour tout $n$, $u_{n}$ dans $F_{n}$. Par compacité de $K$, on peut en extraite une suite ($u_{\phi(n)})_n$ qui tend vers un certain $l$ dans $K$.

Mais, par décroissance des $F_{n}$, $\forall k \leq \phi(n), u_{\phi(n)} \in F_k$.
En fixant $k$ et en faisant tendre $n$ vers $+\infty$, par fermeture des $F_{k}$, on obtient $l \in F_{k}$ et ceci pour tout $k\in\N$.

Donc $l \in A$ et, en particulier, $A$ est non vide.