Fermés emboités dans un compact

Soit $K$ un espace métrique compact. Soit aussi $(F_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite décroissante de fermés non vides inclus dans $K$ .

Montrer que $A=\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}F_{n}$ est un compact non vide de $K$ .

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Solution by Anduril

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$A$ est un fermé comme intersection de fermés.
Ainsi, $A$ est un fermé dans un compact, donc un compact.

On se donne pour tout $n$ , $u_{n}$ dans $F_{n}$ . Par compacité de $K$ , on peut en extraite une suite ( $u_{\phi(n)})_n$ qui tend vers un certain $l$ dans $K$ .

Mais, par décroissance des $F_{n}$ , $\forall k \leq \phi(n), u_{\phi(n)} \in F_k$ .
En fixant $k$ et en faisant tendre $n$ vers $+\infty$ , par fermeture des $F_{k}$ , on obtient $l \in F_{k}$ et ceci pour tout $k\in\N$ .

Donc $l \in A$ et, en particulier, $A$ est non vide.

Solution by Naughty Leaf

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$A$ est un fermé de $K$ comme intersection de fermés.
$A$ est fermé dans l’espace compact $K$ , donc $A$ est compact.

Ensuite, puisque $K$ est compact il satisfait la propriété de recouvrement de Borel-Lebesgue: pour toute famille de fermés de $K$ dont l’intersection est vide, on peut extraire une sous-famille finie d’intersection vide.

Puisque chaque $F_{n}$ est non vide et que la suite est décroissante, toute intersection finie de ces fermés est également non vide. On en déduit par contraposée que $A$ est non vide.

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