Fermés emboités dans un compact

$A$ est un fermé de $K$ comme intersection de fermés.
$A$ est fermé dans l’espace compact $K$, donc $A$ est compact.

Ensuite, puisque $K$ est compact il satisfait la propriété de recouvrement de Borel-Lebesgue: pour toute famille de fermés de $K$ dont l’intersection est vide, on peut extraire une sous-famille finie d’intersection vide.

Puisque chaque $F_{n}$ est non vide et que la suite est décroissante, toute intersection finie de ces fermés est également non vide. On en déduit par contraposée que $A$ est non vide.