Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Fonction indicatrice d’un complémentaire

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Solution by darktoaster · FR

Montrons que 1E∖A=1−1A\textbf{1}_{E \setminus A } = 1- \textbf{1}_{A}
Pour cela, montrons que ∀x∈E,1E∖A(x)=1−1A(x)\forall x \in E, \textbf{1}_{E \setminus A }(x) = 1- \textbf{1}_{A}(x)

Soit x∈Ex \in E
\newline
Si x∈Ax \in A
1A(x)=1\textbf{1}_{A}(x) = 1
De plus x∉E∖Ax \notin E \setminus A donc 1E∖A(x)=0\textbf{1}_{E \setminus A}(x) = 0
On a ainsi 1−1A(x)=1−1=01 - \textbf{1}_{A}(x) = 1 - 1 = 0
\newline
Si x∉Ax \notin A
1A(x)=0\textbf{1}_{A}(x) = 0
De plus x∈E∖Ax \in E \setminus A donc 1E∖A(x)=1\textbf{1}_{E \setminus A}(x) = 1
On a ainsi 1−1A(x)=1−0=11 - \textbf{1}_{A}(x) = 1 - 0 = 1
\newline
On a, quels que soient les cas, 1E∖A(x)=1−1A(x)\textbf{1}_{E \setminus A }(x) = 1- \textbf{1}_{A}(x)
En conclusion : 1E∖A=1−1A\textbf{1}_{E \setminus A } = 1- \textbf{1}_{A}

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