Fonction indicatrice d’une intersection

Montrons que $\textbf{1}_{A \cap B } = \textbf{1}_{A} \textbf{1}_{B}$
Pour cela, montrons que $\forall x \in E, \textbf{1}_{A \cap B }(x) = \textbf{1}_{A}(x) \textbf{1}_{B}(x)$

Soit $x \in E$
$\newline$
Si $x \in A \cap B$
$\textbf{1}_{A\cap B}(x) = 1$
De plus $x \in A$ et $x \in B$ donc $\textbf{1}_{A}(x) = 1$ et $\textbf{1}_{B}(x) = 1$
On a ainsi $\textbf{1}_{A}(x) \textbf{1}_{B}(x)=1$
$\newline$
Si $x \notin A \cap B$
$\textbf{1}_{A\cap B}(x) = 0$
De plus $x \notin A$ ou $x \notin B$ donc $\textbf{1}_{A}(x) = 0$ ou $\textbf{1}_{B}(x) =0$
On a ainsi $\textbf{1}_{A}(x) \textbf{1}_{B}(x)=0$
$\newline$
On a, quels que soient les cas, $\textbf{1}_{A\cap B}(x) = \textbf{1}_{A}(x) \textbf{1}_{B}(x)$
En conclusion : $\textbf{1}_{A \cap B } = \textbf{1}_{A} \textbf{1}_{B}$