Formule de Cauchy-Binet pour le déterminant

Imaginons qu’on échange les deux premières colonnes de $B$ (le raisonnement serait le même avec des colonnes $i<j$), on notera cette matrice $\tilde{B}$ ensuite. On aurait donc aucun changement lié à $A$ dans les termes $\det(A_j)\det(\tilde{B}_j)$ pour $j>2$, ce sera alors $\det(\tilde{B}_j)$ qui nous apportera notre $-$ dû à l’échange de nos colonnes pour retrouver $\det(B_j)$.

Voyons maintenant nos deux premiers termes, on a alors:
$$\det(A_1)\det(\tilde{B}_1)+\det(A_2)\det(\tilde{B}_2)=\det(D_2|C_2|\cdots|C_n)\det(C_1|D_1|D_3|\cdots|D_n)+\det(D_1|C_2|\cdots|C_n)\det(D_2|C_1|D_3|\cdots|D_n)$$

On note alors que changer $C_1$ et $D_1$ dans le premier terme et $C_1$ et $D_2$ dans le second permet de retrouver notre $\det(A_2)\det(B_2)+\det(A_1)\det(B_1)$ (au signe près bien sûr). Donc on a bien une forme $n$-linéaire alternée (la linéarité est plus simple à montrer) !

L’espace des formes $n$-linéaires alternées étant de dimension $1$, notre application se doit d’être proportionnelle au déterminant et on en déduit donc l’existence d’une constante $\alpha$ telle que:
$$\forall B\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K}),\displaystyle\sum_{j=1}^n\det(A_j)\,\det(B_j)=\alpha\,\det(B)$$Pour trouver $\alpha$, il nous faut regarder ce qui se trame pour $B=I_n$. En développant alors le membre de gauche (soit en notant que $\det((I_n)_j)=a_{1,j}$), on remarque que ce n’est qu’une récriture du développement du déterminant de $A$ selon la première colonne. On en déduit donc que $\alpha=\det(A)$ et le résultat !