Formule de Taylor-Young à l’ordre $1$ pour un polynôme de degré $2$

La formule de Taylor-Young à l’ordre $1$ donne, pour le polynôme $f$ (qui, comme tout polynôme, est indéfiniment dérivable, en particulier de classe $C^{1}$, donc on peut bien utiliser la formule) :
$$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+o(x).$$Or, $f'(x)=2x$, d’où $f'(a)=f'(3)=6$, tandis que $f(a)=4$.

On obtient finalement :
$$f(x)=4+(x-3)\times 6+o(x)=6x-14+o(x).$$

En vert, le graphe de $f(x)=x^{2}-5$. En bleu, son développement limité à l’ordre $1$ en $a=3$. Il s’agit exactement de la droite tangente au graphe en $a=3$ !