Formule des compléments pour la fonction $\Gamma$ d’Euler

Le but de ce problème est de démontrer la formule suivante
$$\boxed{\forall z\in]0,1[, \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}}$$où $\displaystyle\Gamma(z):=\int_0^{+\infty}t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm{d}t$ est la fonction Gamma d’Euler. Cette formule, généralisable à toute la bande $0<\Re(z)<1$, est très utile pour comprendre le comportement de la fonction $\zeta$ de Riemann pour $\Re(z)<1$.

Nous commençons par quelques préliminaires.

1) a) Montrer que $\Gamma(x)$ est définie pour tout $x>0$. Montrer également que la fonction $B$ telle que
$$\displaystyle B(x,y):=\int_0^1 t^{x-1}\,(1-t)^{y-1}\,\mathrm{d}t,$$est définie pour tous $x,y>0$.

1) b) Pour $x,y>0$, montrer que
$$\Gamma(x)\Gamma(y)=\Gamma(x+y)B(x,y).$$

1) c) Soit $\tilde{f_{\alpha}}\colon x\in [-\pi,\pi[\longmapsto \cos(\alpha x)$ où $\alpha\in\R\backslash \Z$ et soit $f_{\alpha}\colon \R\to \R$ l’unique fonction $2\pi$-périodique telle que $f_{\alpha}(x)=\tilde{f_{\alpha}}(x)$ pour $x\in[-\pi,\pi[$ et $f_{\alpha}$ est paire.
Montrer que $f_{\alpha}$ peut être décomposée en série de Fourier réelle, déterminer les coefficients de cette décomposition et en déduire la relation
$$\frac{\pi}{\sin(\alpha \pi)}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k+\alpha}$$

Nous pouvons maintenant passer au cœur de la preuve. Pour ce faire, on définit l’intégrale pour tout $z\in]0,1[$ par
$$I_{z}:=\int_0^{+\infty}\frac{t^{z-1}}{1+t}\,\mathrm{d}t$$

2) Montrer que $I_{z}$ est bien définie pour tout $0<z<1$.

3) Montrer que
$$I_z=\int_0^1 \frac{t^{z-1}+t^{-z}}{1+t}\,\mathrm{d}t=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k+z}=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}$$

4) Montrer également que
$$\forall x,y>0, B(x,y)=\int_0^{+\infty}\frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}\,\mathrm{d}u$$et conclure.