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Solution

Solution by budleya · FR

La trace d’une matrice est la somme de ses valeurs propres dans $\C$ (comptée avec multiplicité).
Soit $M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_{n}$ ses valeurs propres dans $\C$ ; alors les valeurs propres de $M^{p}$ sont $\lambda_1^{p},\dots,\lambda_{n}^{p}$ . Donc $\operatorname{tr}(M^{p})=$ $\lambda_1^{p}+\cdots+\lambda_{n}^{p}=(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)^{p}$ par Frobenius dans $\C$ :
$\forall M\in\mathcal{M}, \operatorname{tr}(M^{p})=(\operatorname{tr}M)^{p}$
Alors $\operatorname{tr}\big((A+B)^p\big)= \big(\operatorname{tr}(A+B)\big)^p=(\operatorname {tr}A+\operatorname {tr}B)^{p}=(\operatorname {tr}A)^{p}+(\operatorname {tr}B)^{p}$ par Frobenius dans $\Z$ .
D’où le résultat puisque par (1), $(\operatorname {tr}A)^{p}=\operatorname {tr}(A^{p})$ et $(\operatorname {tr}B)^{p}=\operatorname {tr}(B^{p})$ .