Frobenius under the trace

1. La trace d’une matrice est la somme de ses valeurs propres dans $\C$ (comptée avec multiplicité).
2. Soit $M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_{n}$ ses valeurs propres dans $\C$ ; alors les valeurs propres de $M^{p}$ sont $\lambda_1^{p},\dots,\lambda_{n}^{p}$. Donc $\operatorname{tr}(M^{p})=$ $\lambda_1^{p}+\cdots+\lambda_{n}^{p}=(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)^{p}$ par Frobenius dans $\C$ :
   $$\forall M\in\mathcal{M}, \operatorname{tr}(M^{p})=(\operatorname{tr}M)^{p}$$
3. Alors $\operatorname{tr}\big((A+B)^p\big)= \big(\operatorname{tr}(A+B)\big)^p=(\operatorname {tr}A+\operatorname {tr}B)^{p}=(\operatorname {tr}A)^{p}+(\operatorname {tr}B)^{p}$ par Frobenius dans $\Z$.
4. D’où le résultat puisque par (1), $(\operatorname {tr}A)^{p}=\operatorname {tr}(A^{p})$ et $(\operatorname {tr}B)^{p}=\operatorname {tr}(B^{p})$ .

Soient les polynômes de $\Z[X_1,X_2,...,X_n]$
$S_1:=\sum_{i=1}^n X_i$ et $S_p:=\sum_{i=1}^{n}X_i^p$
D’après la formule du multinôme de Newton, tous les coefficients de $Q:=S_{1}^{p}-S_{p}$ sont divisibles par $p$ (car les nombres entiers $p!/(k_{1}!k_{2}...k_p!)$ où les $k_{i}<p$ avec $k_{1}+k_{2}+...+k_{p}=p$ sont tous divisibles par $p$ car $p$ est premier et par le lemme d’Euclide), de sorte qu’on peut écrire $Q=pR$ avec$R\in \Z[X_1,...,X_n]$.

Soit $M$ une matrice de $M_{n}(Z)$ et $P_M$ son polynôme caractéristique qui est un polynôme de $Z[X]$ unitaire. Ses valeurs propres complexes sont donc des entiers algébriques. On rappelle que l’ensemble des entiers algébriques forme un anneau. On note $\lambda_{1},...,\lambda_{n}$ les valeurs propres de $M$. Ainsi $R(\lambda_{1},...\lambda_{n})$ est un entier algébrique. Par ailleurs, on a $S_{1}(\lambda_{1},...,\lambda_{n})=Tr(M)$ et
$S_{p}(\lambda_{1},...\lambda_{n})=Tr(M^{p})$. Comme $M$ est dans
$M_n(\Z)$, $Tr(M), Tr(M^p)$ sont deux entiers relatifs, $Q(\lambda_{1},...,\lambda_{n})$ est un entier relatif puis $R(\lambda_{1},...\lambda_{n})$ est un rationnel, qui par ailleurs est un entier algébrique. Donc (rappel : tout entier algébrique qui est rationnel est un entier relatif), $N:=R(\lambda_{1},...\lambda_{n})$ est un entier relatif. Ainsi on a l’égalité $Tr(M)^{p}-Tr(M^{p})=pN$ où tous les termes sont entiers, ce qui assure que $Tr(M^{p})=Tr(M)$ modulo p
et ceci quel que soit $M\in M_{n}(Z)$.
Ainsi dans $\Z/p\Z$ on a donc les égalités suivantes : $\forall A, B\in M_{n}(Z), Tr((A+B)^{p})=Tr(A+B)$, $Tr(A^p)=Tr(A)$ et $Tr(B^p)=Tr(B)$ et comme $Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)$ dans $\Z$ donc dans $\Z/p\Z$, on en déduit que
$Tr(A+B)^{p}=Tr(A^{p})+Tr(B^{p})$ (égalité dans $\Z/p\Z$) ce qui achève la preuve.