$\mathrm{Aut}(G)$ est complet pour $G$ simple non abélien

$\textbf{a)}$ $G$ est simple non abélien, d’où $Z(G)$ est trivial et $I \simeq G/Z(G) \simeq G$ est à son tour simple non abélien.
Soit $\sigma \in C_A(I)$, alors $\sigma \gamma_g \sigma^{-1} = \gamma_{\sigma({g})} = \gamma_g$ si et seulement si $\sigma(g)g^{-1} \in Z(G) = \{e\}$ pour tout $g \in G$, ce qui prouve que $C_A(I)$ est trivial. Comme $Z(A) \subset C_A(I)$, il s’ensuit que $Z(A)$ est trivial.

$\textbf{b)}$ Soit $\sigma \in \mathrm{Aut}(A)$, $\sigma(I)$ est normal dans $A$ puisque $I$ l’est, d’où $N = I \cap \sigma(I)$ est normal dans $A$, donc dans $I$, et par simplicité de $I$, $N = \{Id\}$ ou $N = I$. On considère $[I, \sigma(I)]$, sous-groupe de $N$ puisque $I$ et $\sigma(I)$ sont normaux dans $A$.
Si $N = Id$, alors $[I,\sigma(I)] = Id$, d’où $\sigma(I)$ centralise $I$, c’est-à-dire $\sigma(I) \subset C_A(I) = \{Id\}$, on aurait alors, $\sigma(I) = Id$, absurde puisque $I$ est non trivial.
Ainsi, $N = I$ et donc $I \subset \sigma(I)$, donnant bien $\sigma(I) = I$ par simplicité de $\sigma(I)$.

$\textbf{c)}$ Montrons que $\alpha$ est un morphisme de groupes, pour tout $g,h \in G$, on a :
$$\sigma(\gamma_g \gamma_h) = \gamma_{\alpha(gh)} = \gamma_{\alpha(g)}\gamma_{\alpha(h)} = \sigma(\gamma_g)\sigma(\gamma_h)$$D’où $\alpha(gh) = \alpha(g)\alpha(h)$ puisque $Z(G)$ est trivial. Soit $g \in G$ tel que $\alpha(g) = e$, alors $\sigma(\gamma_g) = \gamma_e$, d’où $\gamma_g = \sigma^{-1}(\gamma_e) = \sigma^{-1}(Id) = Id$, et donc $g = e$ ce qui montre l’injectivité de $\alpha$. La surjectivité est claire puisque $\sigma(I) = I$.

Soit $\gamma_g \in I$, alors :
$$\tau(\gamma_g) = \sigma(\alpha^{-1}\gamma_g \alpha) = \sigma(\gamma_{\alpha^{-1}(g)}) = \gamma_{\alpha(\alpha^{-1}(g))} = \gamma_g$$Ce qui montre bien que $\tau_{\mid I} = Id$. On considère ensuite $\beta \in A$, alors d’une part :
$$\tau(\beta \gamma_g \beta^{-1}) = \beta\gamma_g\beta^{-1}$$puisque $\beta \gamma_{g} \beta^{-1} \in I$ et $\tau$ fixe $I$, et d’autre part :
$$\tau(\beta\gamma_g\beta^{-1}) = \tau(\beta)\gamma_g\tau(\beta^{-1})$$puisque $\tau$ est un morphisme de groupes et fixe $\gamma_{g} \in I$. On arrive finalement à l’égalité $(\tau(\beta)^{-1}\beta)\gamma_g(\tau(\beta)^{-1}\beta)^{-1} = \gamma_g$, d’où $\tau(\beta)^{-1}\beta$ centralise $I$, on a bien $\tau(\beta) = \beta$ et donc tout automorphisme de $A$ est intérieur.

On notera au passage que la complétude de $\mathrm{Aut}(G)$ implique l’isomorphisme $\mathrm{Aut}(\mathrm{Aut}(G)) \simeq \mathrm{Aut}(G)$.