Générateur des inversibles d’un corps fini

Remarquons que $9$ n’étant pas premier, $\ell$ est nécessairement premier impair.
Le groupe des inversibles est de cardinal $p-1=4\ell$. Par le théorème de Lagrange les ordres possibles de la classe de $2$ sont parmi $\colon 1,2,4,\ell,2\ell,4\ell.$ On va écarter toutes les possibilités sauf $4\ell.$

• La classe de $2$ ne peut être d’ordre $1$ car alors on aurait $2=1$ ce qui est absurde dans un corps.
• Si $2^{2}=1$ alors $p=3$ mais $3$ n’est pas de la forme $4\ell+1$ donc c’est exclus.
• Si $2^{4}=1$ alors $15=0$ dans $\mathbb{F}_{p}$ donc $p\in\set{3,5}$ mais ni $3$ ni $5$ ne sont de la forme $4\ell+1$ avec $\ell$ premier.
• Si $2^{2\ell}=1$ alors en remarquant que $\dfrac{p-1}{2}=2\ell$ on a $\left(\dfrac{2}{p}\right)=1$ où $\left(\dfrac{\cdot}{p}\right)$ désigne le symbole de Legendre. Mais par la deuxième loi de réciprocité quadratique $2$ est un carré dans $\mathbb{F}_{p}$ si, et seulement si $p\equiv \pm 1\mod 8$. Or ici, puisque $\ell$ est impair $p\equiv 5\mod 8$ donc $2$ n’est pas premier. Ainsi $2$ ne peut être d’ordre $2\ell.$
• Si $2^{\ell}=1$ alors, en passant au carré, $2^{2\ell}=1$ ce qui nous ramène au cas précédent.
  La seule possibilité est donc que $2$ soit d’ordre $4\ell$ donc un générateur de $\mathbb{F}_{p}^{\times}.$