Groupe d’éléments d’ordre 2

1. L’hypothèse s’écrit $x^{2}=e$, donc $x^{-1}=x$ pour tout $x\in G$. Soient $x,y\in G$. Alors
   $$xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx .$$Donc $G$ est abélien. $\blacksquare$

2. Immédiat puisque $G$ est fini : la famille $(x)_{x\in G}$ est finie et engendre $G$. $\blacksquare$

3. $G$ est un $\mathbb{F}_2$-espace vectoriel. Le groupe $G$ est abélien, noté additivement $x+y:=xy$, avec $x+x=0$ pour tout $x$. Définissons la loi externe par
   $$\overline{0}\cdot x=0,\qquad \overline{1}\cdot x=x .$$Elle est bien définie sur $\mathbb{F}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ précisément parce que $2x=0$, et les axiomes d’espace vectoriel se vérifient sans peine : la distributivité $\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y$ et $(\lambda+\mu)x=\lambda x+\mu x$ se ramènent à des cas finis, le second utilisant $x+x=0$ pour $\lambda=\mu=\overline{1}$.

L’espace $G$ est engendré par la famille finie de la question 2. De toute famille génératrice finie on extrait une base. Notons $(e_1,\dots,e_n)$ une telle base, avec $n\in\mathbb{N}$ (le cas $n=0$ correspondant à $G=\{e\}$).

Conclusion : L’application
$$\varphi:\ \mathbb{F}_2^{\,n}\longrightarrow G,\qquad (\lambda_1,\dots,\lambda_n)\longmapsto \sum_{i=1}^{n}\lambda_ie_i$$est un isomorphisme d’espaces vectoriels, donc en particulier un isomorphisme de groupes additifs. Ainsi
$$G\simeq(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{n},\qquad \text{d'où} \qquad |G|=2^{n}. \qquad\blacksquare$$