Héraclès ne pouvait pas perdre!

Supposons par l’absurde que le combat ne se termine pas.

Considérons $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite du nombre de nœuds internes après la $n$-ième attaque. D’après la modélisation, aucun nœud interne n’est jamais créé, donc $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante. Or toute suite décroissante d’entiers naturels est stationnaire. Il suffit donc de montrer que $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ne peut pas être stationnaire pour obtenir une contradiction.

Soit $q$ un nœud interne de profondeur maximale. Lorsque Héraclès coupe une tête enfant de $q$, les nouvelles têtes repoussent strictement plus près du corps et en particulier aucune ne repousse sur $q$. Ainsi le nombre de têtes enfants de $q$ ne peut que décroître. Puisque les têtes repoussent toujours à profondeur strictement inférieure à celle de la tête coupée, et que la profondeur est bornée inférieurement par $0$ (le corps), toute lignée de repousses finissent nécessairement par repousser sur le corps. Or une tête sur le corps est coupée sans repousse, donc toute lignée de repousses s’éteint en un nombre fini d’étapes. Il ne peut donc y avoir qu’un nombre fini d’attaques consécutives n’impliquant pas les têtes de $q$. Puisque le combat est supposé infini, ce processus se répète indéfiniment, mais le nombre de têtes de $q$ étant fini et ne pouvant que décroître, Héraclès finit par couper toutes les têtes de $q$, qui est alors élagué : $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ a strictement décru à partir d’un certain rang. Donc $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ne peut pas être stationnaire, ce qui est absurde.

Donc le combat se termine.