Idéal sans générateur

1. Soit $J$ un idéal de $A$ contenant strictement $I_{c}$. Ainsi il existe $f\in J-I_{c}$ ie $f$ dans $A$ qui ne s’annule pas en $c$. Alors la fonction $g$ définie sur $[0;1]$ par $\forall x, g(x)=f(x)+(x-c)^{2}$ ne s’annule nulle part et appartient à $J+I_{c}\subset J$. Mais alors $1/g$ est bien définie sur $[0;1]$ et continue donc appartient $A$ et donc la fonction $g.1/g \in J$ (car $J$ est un idéal). Ainsi $J$ est un idéal de $A$ qui contient l’élément unité, donc $J=A$. Conclusion : $I_{c}$ est un idéal maximal.
2. supposons que $I_{c}=fA$. En considérant la fonction $(x-c)1_{[0;1]}\in I_{c}$, on remarque que $c$ est le seul zéro de $f$. On a$\sqrt|f|\in I_{c}$ d’où il existe $g\in A$ tel que $\sqrt|f|=fg$ d’où $\forall x$ différent de $c$, $\frac{1}{|f|(x)}=g^2(x)$ ce qui par pasage à la limite lorsque $x$ tend vers $c$ on obtient une contradiction. Conclusion $I_{c}$ n’est pas principal
3. supposons que $I_{c}=\sum_{i=1}^{m}f_{i}A$ (1) $\forall i, f_{i}\in f_{i}A \subset I_{c}$ d’où $f_{i}(c)=0$ et donc la fonction $S=(\sum_{i=1}^{m} |f_{i}|)^{1/2}$ est dans $I_{c}$. Si $S$ s’annule en $d$ alors $\forall i, f_{i}(d)=0$ et en considérant la fonction $(x-c)1_{[0;1]}\in I_{c}$, on a d’après (1), $d-c=0$ d’où $d=c$. Ainsi $c$ est le seul zéro de $S$.
   D’après (1), $S$ s’écrit $S=\sum_{i=1}^{m} f_{i}g_{i}$
   Soit $M:=sup_{i=1} ||g_{i}||_{\infty}$, alors $\forall x, 0\le S(x)\le MS^{2}(x)$ et donc pour tout $x$ distinct de $c$ on a $0\le 1/S(x)\le M$ et un passage à la limite lorsque $x$ tend vers $c$ donne une contradiction. Conclusion $I_{c}$ ne s’écrit pas comme dans (1) ($I_{c}$ n’est pas de type fini)

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