Identité cubique

Comme réflexe, on a envie d’élever cette somme de racines cubiques à la puissance $3$ pour les faire disparaitre. On utilise le binôme de Newton pour développer.
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$\left(\sqrt[3]{\varepsilon + \frac{2}{3}\sqrt{\frac 7 3}} + \sqrt[3]{\varepsilon - \frac{2}{3}\sqrt{\frac 7 3}} \right)^{3} = \varepsilon + \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3} + 3 \left(\sqrt[3]{\varepsilon + \frac{2}{3}\sqrt{\frac 7 3}} \right)^{2} \sqrt[3]{\varepsilon - \frac{2}{3}\sqrt{\frac 7 3}} + 3 \sqrt[3]{\varepsilon + \frac{2}{3}\sqrt{\frac 7 3}}\left(\sqrt[3]{\varepsilon - \frac{2}{3}\sqrt{\frac 7 3}} \right)^{2} + \varepsilon - \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}$

$= 2\varepsilon + 3 \sqrt[3]{\varepsilon^{2} - (\frac{2}{3}\sqrt{\frac 7 3})^{2}} \sqrt[3]{\varepsilon + \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}}+ 3 \sqrt[3]{\varepsilon^{2} - (\frac{2}{3}\sqrt{\frac 7 3})^{2}} \sqrt[3]{\varepsilon - \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}}$
$\newline$$=2\varepsilon + 3 \sqrt[3]{\varepsilon^{2} - (\frac{2}{3}\sqrt{\frac 7 3})^{2}} \left( \sqrt[3]{\varepsilon + \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}} + \sqrt[3]{\varepsilon - \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}}\right)$
$=2\epsilon + 3 \sqrt[3]{1 - \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{3}} \left( \sqrt[3]{\varepsilon + \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}} + \sqrt[3]{\varepsilon - \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}}\right)$
$=2\epsilon -\left( \sqrt[3]{\varepsilon + \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}} + \sqrt[3]{\varepsilon - \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}}\right)$
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$\sqrt[3]{\varepsilon + \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}} + \sqrt[3]{\varepsilon - \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}}$ est racine du polynôme $X^{3} + X - 2\varepsilon$.
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On remarque par ailleurs que $\varepsilon$ est racine "évidente" de $X^{3} + X - 2\varepsilon$. En effet : $\varepsilon^{3}+ \varepsilon - 2\varepsilon = (\pm 1)^{3} \pm 1 - 2(\pm 1) = 0$
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$t \mapsto t^{3} + t - 2\varepsilon$ est une fonction polynomiale strictement croissante (comme somme de fonctions strictement croissantes $t \mapsto t^{3}$ et $t\mapsto t- 2\varepsilon$) sur $\mathbb{R}$. Donc par le théorème des valeurs intermédiaires strictement monotone, cette fonction polynomiale s’annule une et une seule fois dans $\mathbb{R}$.

$\sqrt[3]{\varepsilon + \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}} + \sqrt[3]{\varepsilon - \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}}$ et $\varepsilon$ sont des nombres réels racines de $X^{3} + X -2\varepsilon$ donc on conclut que :
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$\sqrt[3]{\varepsilon + \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}} + \sqrt[3]{\varepsilon - \frac{2}{3} \sqrt{\frac 7 3}} = \varepsilon$

Pour donner davantage de contexte à l’exercice, ces sommes de racines cubiques sont issues des formules de Cardan. Les formules de Cardan permettent de résoudre toutes les équations cubiques de manière générale. Cependant les résultats obtenus par ces formules sont assez lourdes, la somme des deux racines cubiques en est un exemple. Dans cet exercice, pour simplifier cette expression de racines cubiques, on retrouve l’équation polynomiale d’origine et ensuite on devine une solution "évidente", ce qui nous permet de dire que l’expression avec des racines cubiques est égale à la solution devinée.

C’est d’ailleurs ce type de considérations qui ont mené à la découverte des nombres complexes au XVIe siècle avec Cardan, Tartaglia et Bombelli car les formules de Cardan donnaient des racines carrées de nombres négatifs pour certaines équations polynomiales de degré $3$.

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