Identités de Diophante et de Brahmagupta

On souhaite démontrer l’identité de Diophante ainsi que l’identité de Brahmagupta qui généralise celle de Diophante

Soient $a,b,c, d\in \R$ et $n \le 0$

Les deux identités sont définies de la manière suivante :

• Identité de Diophante : $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2}) = (ac - bd) ^2 + (ad + bc)^{2} = (ad -bc)^{2} + (ac + bd)^{2}$
• Identité de Brahmagupta : $(a^{2} - n b^{2})(c^{2} -n d^{2}) = (ac + n bd) ^2 - n (ad + bc)^{2} = (ac - nbd)^{2} - n (ad - bc)^{2}$

L’identité de Diophante dit que le produit de deux éléments, qui sont chacun sommes de deux carrés, est somme de deux carrés.

Démonstrations de l’identité de Diophante

On propose dans ce paragraphe de démontrer l’identité de Diophante de plusieurs manières différentes.

$\textbf{1.1)}$ Développer $(a^{2} +b^{2})(c^{2}+d^{2})$ et $(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}$ et vérifier que ces deux quantités sont égales.
$\textbf{1.2)}$ En posant les nombres complexes $z_{1} = a+ib$ et $z_{2} = c+id$ et en étudiant les modules de $z_{1}$, $z_{2}$ et $z_{1}z_{2}$, redémontrer l’identité de Diophante.
$\textbf{1.3)}$ Proposer une démonstration géométrique de l’identité de Diophante
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Liens entre l’identité de Diophante et celle de Brahmagupta

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$\textbf{2.1)}$ Retrouver l’identité de Diophante à partir de l’identité de Brahmagupta.
$\textbf{2.2)}$ Prouver l’identité de Brahmagupta à partir de l’identité de Diophante.