Inception aux oraux de l’ENS : Permutation de permutation

pour n=1, la signature vaut 1. désormais on suppose $n\ge 2$. on remarque (ça sert pas vraiment par la suite) que cardinal de $S_{n}$ est divisible par 2. Soit $\tau$ une transposition de $S_{n}$. Comme $\tau^2=e$ ($e$ désigne le neutre de $S_{n}$), $\mu_{\tau}$ est un produit disjoint de $n!/2$ transpositions (chaque cycle est du type $(g,\tau \circ g)$) donc sa signature vaut $(-1)^{n!/2}$ (1). remarquons que si $n\ge 4$, cette signature vaut 1, et pour n=2 ou 3, cette signature vaut -1. Revenons à $\mu$. On vérifie que $\mu$ est un morphisme de groupe. Comme $\sigma$ est un produit de transpositions, et que la signature considérée dans cet exercice est un morphisme du groupe $S_{S_{n}}$ la signature de $\mu(\sigma$) est un produit fini de signature de $\mu(\tau_{i})$ où les $\tau_{i}$ sont des transpositions. pour $n\ge 4$, on a donc la signature de $\mu_{\sigma}$ vaut 1. si $n=2$ ou $n=3$ ce produit vaut 1 ssi $\sigma$ est un produit pair de transpositions, égal à -1 sinon. Ainsi pour $n=2$ ou $n=3$, la signature de $\mu_{\sigma}$ vaut 1 ssi $\epsilon(\sigma)=1$, et vaut -1 ssi $\epsilon(\sigma)=-1$