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Solution

Solution by Pinus halepensis · FR

On se donne un dit caractère $\chi$ . Alors comme $G$ est un groupe fini, il en est de même pour $\chi(G)$ . De plus si l’on note $n=|\chi(G)|$ , alors on a pour tout $g\in G$ :
$\chi(g)^{n}=\chi(g^{n})=1$ Donc $\chi(G)\subset \mathbb{U}_{n}$ et par égalité des cardinal $\chi(G)=\mathbb{U}_{n}$ . Donc on a bien l’égalité :
$\sum_{g\in G}\chi(g)=\sum_{x\in\mathbb{U_{n}}}x=0$
Pour la seconde partie du problème on introduit :
$<\chi_{1},\chi_{2}>=\sum_{g\in G}\chi_{1}(g)\overline{\chi_{2}}(g)$ Si $\chi_{1}$ et $\chi_{2}$ sont deux caractères différents, alors $\chi_{1}\overline{\chi_{2}}: g\longmapsto \chi_{1}(g)\overline{\chi_{2}(g)}$ est un caractère de $G$ et donc :
$<\chi_{1},\chi_{2}>=0$ Soit alors une famille de caractères $(\chi_{1},\dots,\chi_{n})$ on suppose qu’il existe $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in \mathbb{C}^{n}$ tels que :
$\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\chi_{i}=0$ Alors on a pour
$1\leq j\leq n$ :
$<\chi_{j},\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\chi_{i}>=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}<\chi_{j},\chi_{i}>=\lambda_{j}<\chi_{j},\chi_{j}>=0$ donc, $\lambda_{j}=0$ d’où la liberté d’une telle famille.