Inégalité d’Hadamard

1. Notons $P=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathcal{C})$ la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{C}$, dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{C}$ dans la base $\mathcal{B}$.

$P$ est orthogonale. Le coefficient $(i,j)$ de $P^{\mathsf T}P$ vaut $\sum_k p_{ki}p_{kj}$. Or, $\mathcal{B}$ étant orthonormale, ce nombre est exactement $\langle c_i,c_j\rangle$ où $c_i$ désigne le $i$-ième vecteur de $\mathcal{C}$ ; et $\mathcal{C}$ étant orthonormale, il vaut $\delta_{ij}$. Donc
$$P^{\mathsf T}P=I_n,\qquad\text{d'où}\qquad \det(P)^{2}=1,\qquad \det P=\pm 1 .$$

La formule de changement de base pour les formes $n$-linéaires alternées donne
$$\operatorname{det}_{\mathcal{B}}(x_1,\dots,x_n)=\det(P)\cdot\operatorname{det}_{\mathcal{C}}(x_1,\dots,x_n),$$et en prenant les valeurs absolues, $|\det P|=1$ fournit l’égalité annoncée. $\blacksquare$

2. Cas d’une famille liée. Le déterminant est nul, et l’inégalité est immédiate puisque le membre de droite est positif.

Cas d’une famille libre. Le procédé de Gram–Schmidt fournit une base orthonormale $\mathcal{E}=(e_1,\dots,e_n)$ vérifiant
$$\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)=\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_k)\qquad (1\leqslant k\leqslant n).$$Chaque $x_i$ s’écrit donc $x_i=\sum_{j=1}^{i}a_{ji}e_j$ : la matrice $A=(a_{ji})$ de la famille dans $\mathcal{E}$ est triangulaire supérieure, et
$$\operatorname{det}_{\mathcal{E}}(x_1,\dots,x_n)=\det A=\prod_{i=1}^{n}a_{ii}.$$La base $\mathcal{E}$ étant orthonormale, le théorème de Pythagore donne
$$\|x_i\|^{2}=\sum_{j=1}^{i}a_{ji}^{2}\ \geqslant\ a_{ii}^{2},\qquad\text{soit}\qquad |a_{ii}|\leqslant\|x_i\| . \qquad \qquad \tag{$\ast$}$$En multipliant ces $n$ inégalités entre nombres positifs et en invoquant la question 1 :
$$\bigl|\operatorname{det}_{\mathcal{B}}(x_1,\dots,x_n)\bigr|=\bigl|\operatorname{det}_{\mathcal{E}}(x_1,\dots,x_n)\bigr|=\prod_{i=1}^{n}|a_{ii}|\ \leqslant\ \prod_{i=1}^{n}\|x_i\| . \qquad\blacksquare$$

Il y a égalité si et seulement si la famille $(x_1,\dots,x_n)$ est orthogonale, c’est-à-dire $\langle x_i,x_j\rangle=0$ pour $i\neq j$. Cette condition englobe le cas dégénéré où l’un des $x_i$ est nul.

Version matricielle. Pour $A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de colonnes $C_1,\dots,C_n$, l’inégalité s’écrit
$$|\det A|\ \leqslant\ \prod_{j=1}^{n}\|C_j\|_2=\prod_{j=1}^{n}\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{ij}^{2}\Bigr)^{1/2},$$avec égalité si et seulement si $A$ a ses colonnes orthogonales, ou une colonne nulle. Par transposition, le même énoncé vaut pour les lignes.