Injectivité et composition d’applications

$\textbf{1)}$ Soient $x_{1}$ et $x_{2}$ dans $E$ tels que $h(x_{1}) = h(x_{2})$
Par définition de $h$ : $g(f(x_{1})) = g(f(x_{2}))$
Par injectivité de $g$ : $f(x_{1}) =f(x_{2})$
Par injectivité de $f$ : $x_{1} = x_{2}$
On conclut que $h$ est injective.
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$\textbf{2)}$ Soient $x_{1}$ et $x_{2}$ dans $E$ tels que $f(x_{1}) = f(x_{2})$
On applique $g$ à l’égalité : $g(f(x_{1})) = g(f(x_{2}))$
On reconnait $h$ : $h(x_{1}) = h(x_{2})$
Par injectivité de $h$ : $x_{1} = x_{2}$
On conclut que $f$ est injective.
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$\textbf{3)}$ Il n’est pas nécessaire que $g$ soit injective pour que $h$ le soit.
Prenons, $E=F=G=\R$ et $f : x \mapsto e^{x}$ et $g : x \mapsto x^{2}$
En composant $f$ et $g$, nous avons $\forall x \in \R, h(x) = g \circ f (x) = g(f(x)) = (e^x)^2) = e^{2x}$
$h$ est injective sur $\R$ (car $h$ est une fonction strictement croissante)
Pourtant $g$ n’est pas injective sur $\R$.