Intégrabilité et limite

La fonction $f(x)=\sin\bigl(x^{2}\bigr)$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ et ne tend pas vers $0$ : elle vaut $1$ en $x=\sqrt{\pi/2+2k\pi}$ pour tout $k\in\mathbb{N}$.
Montrons que son intégrale converge. Pour $A>1$, le changement de variable $u=x^{2}$ puis une intégration par parties donnent
$$\int_1^{A}\sin(x^{2})\,\mathrm{d}x=\int_1^{A^{2}}\frac{\sin u}{2\sqrt u}\,\mathrm{d}u=\left[-\frac{\cos u}{2\sqrt u}\right]_1^{A^{2}}-\int_1^{A^{2}}\frac{\cos u}{4u^{3/2}}\,\mathrm{d}u,$$où le crochet a une limite finie et la dernière intégrale converge absolument, son intégrande étant $O(u^{-3/2})$. C’est l’intégrale de Fresnel, de valeur $\frac12\sqrt{\pi/2}$ sur $[0,+\infty[$.

Soit $M>0$ tel que $\int_x^{x+1}f'(t)^{2}\,\mathrm{d}t\leqslant M$ pour tout $x\geqslant 0$.
Pour $x\geqslant 0$ et $0\leqslant h\leqslant 1$, Cauchy–Schwarz donne
$$\bigl|f(x+h)-f(x)\bigr|\leqslant\int_x^{x+h}|f'|\leqslant\sqrt h\,\Bigl(\int_x^{x+h}f'^{2}\Bigr)^{1/2}\leqslant\sqrt{Mh}. \qquad \qquad \tag{$\ast$}$$Supposons que $f$ ne tende pas vers $0$ ; il existe $\varepsilon>0$ et une suite $x_n\to+\infty$ avec $|f(x_n)|\geqslant\varepsilon$. Posons
$$\delta=\min\Bigl(1,\ \frac{\varepsilon^{2}}{4M}\Bigr),\qquad\text{de sorte que}\qquad \sqrt{M\delta}\leqslant\frac{\varepsilon}{2}.$$D’après $(\ast)$, pour $t\in[x_n,x_n+\delta]$ on a $|f(t)-f(x_n)|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$, donc $|f(t)|\geqslant\frac{\varepsilon}{2}$. La fonction continue $f$ ne s’annule pas sur cet intervalle, donc y garde un signe constant, et
$$\Bigl|\int_{x_n}^{x_n+\delta}f\Bigr|=\int_{x_n}^{x_n+\delta}|f|\geqslant\frac{\varepsilon\delta}{2}>0 .$$Or la convergence de $\int_0^{+\infty}f$ entraîne, par le critère de Cauchy, $\int_a^{b}f\to 0$ lorsque $a,b\to+\infty$ : le membre de gauche tend vers $0$ quand $n\to\infty$. Contradiction, donc $f(x)\to 0$. $\blacksquare$