Intégrale de Dirichlet

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par :
$$f(t) = \text{Im} \int_0^{+\infty} e^{-tx} \frac{e^{ix}}{x} \, dx = \int_0^{+\infty} e^{-tx} \frac{\sin x}{x} \, dx$$

L’intégrale est bien définie. En effet, $x \mapsto e^{-tx}$ est intégrable sur $\mathbb{R}_+^*$ pour $t > 0$, et la fonction $x \mapsto \frac{\sin x}{x}$ est majorée (elle se prolonge par continuité en $0$ et tend vers $0$ en $+\infty$).

Soit $t \in \mathbb{R}_+^*$. Montrons que $f$ est dérivable sur cet intervalle en utilisant le théorème de dérivation sous le signe intégral :
$$\left| \frac{\partial}{\partial t} \left( e^{-tx} \frac{e^{ix}}{x} \right) \right| = \left| -x e^{-tx} \frac{e^{ix}}{x} \right| = e^{-tx}$$Pour tout $a > 0$ et pour tout $t \ge a$, on a la domination $e^{-tx} \le e^{-ax} \in L^1(\mathbb{R}_+)$.
Ainsi, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et sa dérivée s’obtient en dérivant sous l’intégrale :
$f'(t)=-\text{Im} \left[ \frac{1}{-t+i} e^{(-t+i)x} \right]_0^{+\infty}$
Puisque $\lim_{x \to +\infty} e^{-tx} = 0$ pour $t > 0$, la borne en $+\infty$ s’annule. On obtient alors : $f'(t) = -\frac{1}{1+t^2}$

En intégrant la relation précédente, on en déduit qu’il existe une constante $C \in \mathbb{R}$ telle que pour tout $t > 0$ :
$$f(t) = -\arctan(t) + C$$

Déterminons la constante $C$ en étudiant la limite quand $t \to +\infty$.
Par le théorème de convergence dominée (TCD), la fonction intégrande tend vers $0$ et elle est dominée, par exemple pour $t \ge 1$, par $x \mapsto e^{-x}$ qui est dans $L^1(\mathbb{R}_+)$. Par conséquent :
$$\lim_{t \to +\infty} f(t) = 0$$

Par unicité de la limite, on trouve :
$$-\frac{\pi}{2} + C = 0 \implies C = \frac{\pi}{2}$$

Ainsi, pour tout $t > 0$, $f(t) = \frac{\pi}{2} - \arctan(t)$.

Puisque $f$ est continue en $0$ :
$$f(0) = \lim_{t \to 0^+} f(t) = \frac{\pi}{2} = \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$$