Intégrale (d’intégrale de) Dirichlet

On montre que $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,dt$ existe ce qui prouvera l’existence de $f$ sur $\mathbb{R}^+.$ Soit $0<\varepsilon<y$. On fait une intégration par partie de l’intégrande sur $[\varepsilon,y]$ en primitivant $\sin(t)$ en $1-\cos(t)$ et en dérivant $\dfrac{1}{t}.$ Ceci donne
$$\int_\varepsilon^y\dfrac{\sin(t)}{t}\,dt=\left[\dfrac{1-\cos(t)}{t}\right]_0^{y}+\int_\varepsilon^y\dfrac{1-\cos(t)}{t^2}\,dt=\dfrac{1-\cos(y)}{y}-\dfrac{1-\cos(\varepsilon)}{\varepsilon}+\int_\varepsilon^y\dfrac{1-\cos(t)}{t^2}\,dt.$$ Grâce à un $DL_2$ de $\cos$ en $0$ on a l’équivalent $\dfrac{1-\cos(t)}{t}\sim \dfrac{t}{2}$ qui est positif au voisinage de $0$. Cela prouve non seulement que $t\mapsto \dfrac{1-\cos(t)}{t^2}$ est intégrable au voisinage de $0$ mais aussi que $\dfrac{1-\cos(\varepsilon)}{\varepsilon}\underset{\varepsilon\rightarrow 0}{\longrightarrow}0.$ Par ailleurs, $\dfrac{1-\cos(t)}{t^2}=\underset{{t\rightarrow+\infty}}{O}\left(\dfrac{1}{t^2}\right)$ donc $t\mapsto \dfrac{1-\cos(t)}{t^2}$ est aussi intégrable en $+\infty$ et $\dfrac{1-\cos(y)}{y}=\underset{+\infty}{O}\left(\dfrac{1}{y}\right)\underset{y\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}0.$ Donc $f$ est bien définie et $\forall x\in\mathbb{R}^+,$
$$(*)\colon f(x)=-\dfrac{1-\cos(x)}{x}+\int_{x}^{+\infty}\dfrac{1-\cos(t)}{t^2}\,dt.$$ D’après le théorème fondamental de l’analyse la fonction $F$ définie par $F(x)=\displaystyle\int_0^x \dfrac{\sin(t)}{t}\,dt$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et c’est une primitive du prolongement de $t\mapsto \dfrac{\sin(t)}{t}$ sur $\mathbb{R}^{+}$ et $\forall x\in\mathbb{R}^+, f(x)=\lim_{z\rightarrow+\infty}F(z)-F(x)$ si bien que $f$ est également de classe $\mathcal{C}^1$ et $f'(x)=-\dfrac{\sin(x)}{x}$.
Pour $y>0$ on calcule $\displaystyle\int_0^yf(x)\,dx$ par intégration par partie en dérivant $f(x)$ et en primitivant $1$ :
$$\int_0^yf(x)\,dx=\left[xf(x)\right]_0^y-\int_0^yxf'(x)\,dx\underbrace{=}_{(*)}-y\dfrac{1-\cos(y)}{y}+y\int_y^{+\infty}\dfrac{1-\cos(t)}{t^2}\,dt+\int_0^y\sin(x)\,dx$$ $$=-1+\cos(y)+y\int_y^{+\infty}\dfrac{1-\cos(t)}{t^2}\,dt+1-\cos(y) =y\int_y^{+\infty}\dfrac{1-\cos(t)}{t^2}\,dt$$ $$=y\int_y^{+\infty}\dfrac{1}{t^2}\,dt-y\int_y^{+\infty}\dfrac{\cos(t)}{t^2}\,dt\underbrace{=}_{\text{IPP}}1-y\left(\left[\dfrac{\sin(t)}{t^2}\right]_y^{+\infty}+\int_y^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t^3}\,dt\right)$$ $$=1-\dfrac{\sin(y)}{y}-y\int_y^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t^3}\,dt$$ On peut alors conclure soit grâce à la majoration $\left|\dfrac{\sin(t)}{t^3}\right|\leq \dfrac{1}{t^3}$ soit par intégration des relations de comparaison convergence en écrivant $\displaystyle\int_y^{+\infty}\underset{t\rightarrow +\infty}{O}\left(\dfrac{1}{t^3}\right)\,dt=\underset{y\rightarrow+\infty}{O}\left(\displaystyle\int_y^{+\infty}\dfrac{1}{t^3}\,dt\right)=O\left(\dfrac{1}{y^2}\right).$ On en déduit la convergence de l’intégrale de $f$ et
$$\int_0^{+\infty}f(x)\,dx=1.$$