Intérieur d’un sous-espace vectoriel

Notons $\Vert\cdot\Vert$ la norme de $E$.

On suppose que l’intérieur de $F$ n’est pas vide, ce qui signifie qu’il existe une petite boule ouverte centrée sur un élément de $F$, que l’on appelle $x_0$, de rayon $\varepsilon$.
On prend maintenant $x\neq0$ appartenant à $E$. Ainsi $y:=x_0+x\cdot\frac{\varepsilon}{2\Vert x\Vert}$ est un vecteur tel que $\Vert y-x_0\Vert =\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$, et il appartient ainsi à la boule définie précédemment et donc à $F$. Mais $x$ est une combinaison linaire de $y$ et $x_0$ donc il appartient à $F$ puisqu’il s’agit d’un espace vectoriel.

En fin de compte, soit $F=E$ (et donc l’intérieur de $F$ est $E$ lui-même), soit l’intérieur de $F$ est vide.