Inverse d’une matrice diagonale $2\times 2$

1. Pour vérifier que $A$ et $B$ sont inverses l’une de l’autre, il suffit de vérifier que
   $$AB=I_2.$$ On calcule
   $$AB= \begin{pmatrix} 2\times\frac{1}{2}+0\times0 & 2\times0+0\times\frac{1}{3} \\ 0\times\frac{1}{2}+3\times0 & 0\times0+3\times\frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} =I_2.$$ Ainsi,
   $$B=A^{-1}.$$

   2. On cherche l’inverse de la matrice
      $$A= \begin{pmatrix} a&0\\ 0&b \end{pmatrix},$$ où $a$ et $b$ sont non nuls.

   Comme $A$ est une matrice diagonale, on propose $B$ de manière analogue à la question précédente. Ainsi,
   $$B= \begin{pmatrix} \frac{1}{a}&0\\ 0&\frac{1}{b} \end{pmatrix}.$$

   On vérifie alors par le calcul que
   $$AB= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} =I_2.$$Ce qui implique donc

$$B = A^{{-1}}$$