Ivan Shishkin, Rye (1878)

Inverse d’une matrice diagonale $2\times 2$

by Ancient Tree·

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Vérifier que
$A=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right) \quad \text{et}\quad B=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3}\end{array}\right)$ sont inverses l’une de l’autre.
Quel est l’inverse de la matrice
$A=\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & b\end{array}\right)$

où $a$ et $b$ sont non nuls ?

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Solution by Nolan_2o

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Pour vérifier que $A$ et $B$ sont inverses l’une de l’autre, il suffit de vérifier que
$AB=I_2.$ On calcule
$AB= \begin{pmatrix} 2\times\frac{1}{2}+0\times0 & 2\times0+0\times\frac{1}{3} \\ 0\times\frac{1}{2}+3\times0 & 0\times0+3\times\frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} =I_2.$ Ainsi,
$B=A^{-1}.$
1. On cherche l’inverse de la matrice
  $A= \begin{pmatrix} a&0\\ 0&b \end{pmatrix},$ où $a$ et $b$ sont non nuls.
Comme $A$ est une matrice diagonale, on propose $B$ de manière analogue à la question précédente. Ainsi,
$B= \begin{pmatrix} \frac{1}{a}&0\\ 0&\frac{1}{b} \end{pmatrix}.$

On vérifie alors par le calcul que
$AB= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} =I_2.$ Ce qui implique donc

$B = A^{{-1}}$

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