Inverse d’une matrice symétrique

Puisque $A$ est inversible, on a $AA^{-1} = A^{-1}A= I_{n}$. En appliquant la transposée et en utilisant que $A$ et $I$ sont symétriques, on obtient
$$(A^{-1})^{T}A = A(A^{-1})^{T}=I_{n}.$$Par unicité de l’inverse, il en vient $A^{-1} = (A^{-1})^{T}$.