Inverse d’une matrice symétrique

On considère l’endomorphisme $B\in S_n(\R)\longmapsto ABA\in S_n(\R)$ (je laisse le lecteur checker que l’image est bien dans $S_n(\R)$ et que cette application est linéaire).
Si $ABA=0$ alors multiplier par $A^{-1}$ à gauche et à droite donne que $B=0$, ainsi le noyau de notre application est nul, c’est donc un automorphisme.
En tant qu’application surjective, elle atteint la matrice symétrique $A$, donc il existe $B\in S_n(\R)$ telle que $ABA=A$. Multiplier à gauche et à droite par $A^{-1}$ donne alors $A^{-1}=B$ qui est alors symétrique, ce qui conclut.

Puisque $A$ est inversible, on a $AA^{-1} = A^{-1}A= I_{n}$. En appliquant la transposée et en utilisant que $A$ et $I$ sont symétriques, on obtient
$$(A^{-1})^{T}A = A(A^{-1})^{T}=I_{n}.$$Par unicité de l’inverse, il en vient $A^{-1} = (A^{-1})^{T}$.

La matrice $A$ est symétrique réelle donc diagonalisable, ainsi il existe $D$ diagonale et $P$ orthogonale telles que $A=PDP^{T}$.
Mais $D$ est la matrice des valeurs propres de $A$, toutes non-nulles car $A$ est inversible, donc $D^{-1}$ existe et ainsi $PD^{-1}P^T$ est bien définie et est égale à $A^{-1}$. Or $D^{-1}$ est la matrice diagonale des inverses des valeurs propres de $A$ donc elle est symétrique et donc $A^{-1}$ aussi.