Inverse d'une matrice symétrique

Soit $A\in S_n(\R)$ une matrice symétrique inversible. Montrer que $A^{-1}$ est symétrique.

I solved itMark it done Add to my listKeep it in your list

I like this problem1 like

Liked by

Ancient Tree@ancient-tree

Hints

Hint 1

Open this only if you want a small nudge before looking at the solutions.

Solutions

Reveal solutionsAre you sure? Give it a try first.

Community accepted

Solution by araucaria araucana

Discussions7 useful votes

Puisque $A$ est inversible, on a $AA^{-1} = A^{-1}A= I_{n}$ . En appliquant la transposée et en utilisant que $A$ et $I$ sont symétriques, on obtient
$(A^{-1})^{T}A = A(A^{-1})^{T}=I_{n}.$ Par unicité de l’inverse, il en vient $A^{-1} = (A^{-1})^{T}$ .

Solution by Sequoia

Discussions3 useful votes

On considère l’endomorphisme $B\in S_n(\R)\longmapsto ABA\in S_n(\R)$ (je laisse le lecteur checker que l’image est bien dans $S_n(\R)$ et que cette application est linéaire).
Si $ABA=0$ alors multiplier par $A^{-1}$ à gauche et à droite donne que $B=0$ , ainsi le noyau de notre application est nul, c’est donc un automorphisme.
En tant qu’application surjective, elle atteint la matrice symétrique $A$ , donc il existe $B\in S_n(\R)$ telle que $ABA=A$ . Multiplier à gauche et à droite par $A^{-1}$ donne alors $A^{-1}=B$ qui est alors symétrique, ce qui conclut.

Solution by Sequoia

Discussions2 useful votes

La matrice $A$ est symétrique réelle donc diagonalisable, ainsi il existe $D$ diagonale et $P$ orthogonale telles que $A=PDP^{T}$ .
Mais $D$ est la matrice des valeurs propres de $A$ , toutes non-nulles car $A$ est inversible, donc $D^{-1}$ existe et ainsi $PD^{-1}P^T$ est bien définie et est égale à $A^{-1}$ . Or $D^{-1}$ est la matrice diagonale des inverses des valeurs propres de $A$ donc elle est symétrique et donc $A^{-1}$ aussi.

Report