Inverse d’une matrice symétrique

On considère l’endomorphisme $B\in S_n(\R)\longmapsto ABA\in S_n(\R)$ (je laisse le lecteur checker que l’image est bien dans $S_n(\R)$ et que cette application est linéaire).
Si $ABA=0$ alors multiplier par $A^{-1}$ à gauche et à droite donne que $B=0$, ainsi le noyau de notre application est nul, c’est donc un automorphisme.
En tant qu’application surjective, elle atteint la matrice symétrique $A$, donc il existe $B\in S_n(\R)$ telle que $ABA=A$. Multiplier à gauche et à droite par $A^{-1}$ donne alors $A^{-1}=B$ qui est alors symétrique, ce qui conclut.