Inverse d’une matrice symétrique

La matrice $A$ est symétrique réelle donc diagonalisable, ainsi il existe $D$ diagonale et $P$ orthogonale telles que $A=PDP^{T}$.
Mais $D$ est la matrice des valeurs propres de $A$, toutes non-nulles car $A$ est inversible, donc $D^{-1}$ existe et ainsi $PD^{-1}P^T$ est bien définie et est égale à $A^{-1}$. Or $D^{-1}$ est la matrice diagonale des inverses des valeurs propres de $A$ donc elle est symétrique et donc $A^{-1}$ aussi.