Jamais sans mon neuf

Le dénominateur est 9 fois le produit des $(10^n-1)/9$ pour $n=2,3,5,7,11,13,17,19$. Le développement décimal est donc périodique à partir d’un certain rang de période $2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19=9699690$. En faisant tourner un petit programme python (division de l’école élémentaire en base $10^{19\cdot17\cdot13}$), on valide le résultat.

Tous les chiffres apparaissent dans la période sauf le 9:
le 0 à la décimale n° 1
le 1 à la décimale n° 2
le 2 à la décimale n° 6
le 3 à la décimale n° 30
le 4 à la décimale n° 210
le 5 à la décimale n° 2310
le 6 à la décimale n° 30030
le 7 à la décimale n° 510510
le 8 à la décimale n° 9699690

Remarque : il y a besoin de creuser un peu plus loin que cette simple vérification car le numérateur a visiblement été fabriqué finement puisque $2\cdot3=6$, $2\cdot3\cdot5=30$, $2\cdot3\cdot5\cdot7=210$, $2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11=2310$, $2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13=30030$, etc.
Pour l’instant je vais me coucher...