Jeu de piste 2 (ou la force de l’exacte commutation)

Dans le diagramme ci dessous :

• Les $X_{i}$ et les $Y_{i}\ _{,i=2,3,4,5}$ sont des groupes (0 désignera le neutre du groupe sous-entendu).
• Les suites sont exactes : pour $i=2,3,4 : \Im g_i=\ker g_{i+1}$ et $\Im h_i=\ker h_{i+1}$.
• Les carrés commutent : pour $i=2,3,4 : h_i\circ f_i=f_{i+1}\circ g_i$.
• $h_{3}$ et $f_{3}$ sont des morphismes de groupes.

Montrer que quand $f_5$ est injective et que $f_2,f_4$ sont surjectives, alors $f_{3}$ est surjective.

NB1 : remarquer que à part $h_{3}$ et $f_{3}$, les $f_{i},g_{i},h_{i}$ ne sont pas des morphismes de groupe, l’exacte commutation suffit.
NB2 : si vous avez résolu le problème Jeu de piste 1 et celui-ci, vous avez démontré le lemme des cinq.