La distance discrète

Soient $x,y,z \in X$.
$\bullet$ Par définition de $d$, on a $0\leq d(x,y)$, l’inégalité est stricte si $x\neq y$, et est une égalité si $x=y$. Donc $d$ est $\underline{\text{définie positive}}$
$\bullet$ Encore par définition de $d$, $d(x,y)=d(y,x)$ (on a soit la tautologie $0=0$, soit $1=1$), donc $d$ est $\underline{\text{symétrique}}$
$\bullet$ Vérifions enfin que $d$ satisfait $\underline{\text{l'inégalité triangulaire}}$.
(1) Si $x=z$, alors $d(x,z)=0\leq d(x,y)+d(y,z)$ puisque $d$ est positive
(2) Si $x\neq z$ et $y\in\left\lbrace x ; z \right\rbrace$, alors $d(x,z)=1=d(x,y)+d(y,z)$
(3) Si $x\neq z$ et $y\notin\left\lbrace x ; z \right\rbrace$, alors $d(x,z)=1\leq 2 =d(x,y)+d(y,z)$
Tous les cas sont couverts. CQFD.
$\textit{Remarque}$ : le cas (3) est simplement "Si $x,y,z$ sont deux à deux distincts", mais écrit tel que je l’ai fait on voit mieux (1)-(2)-(3) disjoncte tous les cas (je trouve) !