The discrete metric

Let $X$ be a non-empty set. Show that the function $d\colon X\times X\to \R$ such that:
$\forall x,y\in X, d(x, y)= \begin{cases}1 & \text { if } x\neq y \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}$ is a metric on any set $X$ . It is called the discrete metric.

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Solution by OakiwiFR

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Soient $x,y,z \in X$ .
$\bullet$ Par définition de $d$ , on a $0\leq d(x,y)$ , l’inégalité est stricte si $x\neq y$ , et est une égalité si $x=y$ . Donc $d$ est $\underline{\text{définie positive}}$
$\bullet$ Encore par définition de $d$ , $d(x,y)=d(y,x)$ (on a soit la tautologie $0=0$ , soit $1=1$ ), donc $d$ est $\underline{\text{symétrique}}$
$\bullet$ Vérifions enfin que $d$ satisfait $\underline{\text{l'inégalité triangulaire}}$ .
(1) Si $x=z$ , alors $d(x,z)=0\leq d(x,y)+d(y,z)$ puisque $d$ est positive
(2) Si $x\neq z$ et $y\in\left\lbrace x ; z \right\rbrace$ , alors $d(x,z)=1=d(x,y)+d(y,z)$
(3) Si $x\neq z$ et $y\notin\left\lbrace x ; z \right\rbrace$ , alors $d(x,z)=1\leq 2 =d(x,y)+d(y,z)$
Tous les cas sont couverts. CQFD.
$\textit{Remarque}$ : le cas (3) est simplement "Si $x,y,z$ sont deux à deux distincts", mais écrit tel que je l’ai fait on voit mieux (1)-(2)-(3) disjoncte tous les cas (je trouve) !

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