La mouche et les trains

à compter de $t_{0}$, les deux trains se percuteront dans deux heures.
la mouche vole à 100km/h (c’est très rapide pour une mouche mais bon).
le vol de la mouche dure deux heures donc elle aura parcouru 200 km.

Solution par la somme des allers-retours

Calcul des allers-retours
La mouche effectue une série infinie d’allers-retours entre les deux trains.
Chaque aller-retour correspond à un trajet dont la distance diminue à mesure que les trains se rapprochent.
Appelons les deux trains A et B et supposons que la mouche partent initialement du train A vers B.

Premier aller (vers le train B)

– Vitesse relative entre la mouche et le train B : $100 + 50 = 150$ km/h.
– Temps pour atteindre le train B : $t_1 = \frac{200}{150} = \frac{4}{3}$ heures.
– Distance parcourue par la mouche : $d_1 = 100 \times \frac{4}{3} = \frac{400}{3}$ km.
– Distance entre les trains après ce trajet : $200 - 100 \times \frac{4}{3} = \frac{200}{3}$ km.

Premier retour (de B vers le train A)

– Vitesse relative entre la mouche et le train A : $100 + 50 = 150$ km/h.
– Temps pour atteindre le train A : $t_2 = \frac{\frac{200}{3}}{150} = \frac{4}{9}$ heures.
– Distance parcourue par la mouche : $d_2 = 100 \times \frac{4}{9} = \frac{400}{9}$ km.
– Distance entre les trains après ce trajet : $\frac{200}{3} - 100 \times \frac{4}{9} = \frac{200}{9}$ km.

Généralisation
Les distances parcourues par la mouche à chaque aller-retour forment une suite géométrique :
$$d_1 = \frac{400}{3}, \quad d_2 = \frac{400}{9}, \quad d_3 = \frac{400}{27}, \quad \dots$$La distance totale parcourue par la mouche est la somme de cette série infinie :
$$D_{\text{total}} = \frac{400}{3} + \frac{400}{9} + \frac{400}{27} + \frac{400}{81} + \dots$$

Somme de la série géométrique
La série est géométrique avec :

– Premier terme $a = \frac{400}{3}$.
– Raison $r = \frac{1}{3}$.

La somme d’une série géométrique infinie est donnée par :
$$S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{400}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{400}{3}}{\frac{2}{3}} = 200 \text{ km}.$$

Conclusion
La distance totale parcourue par la mouche est de \textbf{200 km}, ce qui correspond à sa vitesse (100 km/h) multipliée par le temps total avant la collision (2 heures).