La projection stéréographique préserve les cercles

Preuve en utilisant l’inversion.
Soit $I$ l’inversion de pôle $N$ et de puissance $2R^{2}=2$. La projection stéréographique est la restriction de $I$ à la sphère de l’espace $\mathbb{R}^3$.
Cas $N \notin C$
Soit $S$ une sphère qui admet pour grand cercle $C$. L’image par $I$ de $S$ est une sphère (on pourrait d’ailleurs trouver le rayon). Mais l’image par $I$ de $C$ est dans le plan $z=0$. L’intersection donne donc un cercle.
Cas $N \in C$
L’image par $I$ d’un cercle passant par son pôle $N$ est une droite dans le plan contenant le cercle. Cette droite est perpendiculaire à la droite passant par son centre et $N$. L’image de $C$ étant dans le plan $z=0$, c’est donc une droite de $H$.