Le commutateur qui impose sa dimension

Posons $M=A+\omega B$, où $\omega=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}$. On a
$$\begin{aligned} M\overline{M} &=(A+\omega B)(A+\bar\omega B)=A^{2}+\omega BA+\bar\omega AB+B^{2}\\ &=AB+\omega BA+\bar\omega AB=\omega\,(BA-AB), \end{aligned}$$car $\overline\omega+1=-\omega$.
Comme $\det(M\overline{M})=\det M\cdot\det\overline M$ est un nombre réel, que $\det\bigl(\omega(BA-AB)\bigr)=\omega^{n}\det(BA-AB)$ et que $\det(BA-AB)\neq 0$, le nombre $\omega^{n}$ est réel. Cela n’est possible que si $n$ est divisible par $3$.