Le compte est bon

Pour $k\in\mathbb{N}$, on considère une suite infinie de termes $u_{{k}}$ telle que la somme $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}$ ait un sens.

Pour tout $n\in\mathbb{N^{*}}$, on scinde cette somme en deux de la manière suivante:

$\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}\frac{n!^{2}}{(n-k)!(n+k)!}+\frac{2}{n}\sum_{k=1}^{n}k\frac{n!^{2}}{(n-k)!(n+k)!}\left(\frac{u_{k}}{2}+\sum_{j=k+1}^{+\infty}u_{j}\right)$

Vérifiez que le compte est bon.